Векторное пространство, зависящее от точки

Если явно не сказано обратное, все векторные пространства в этой главе конечномерны и комплексны. Пусть X — топологическое пространство. Вместо одного пространства V поставим над каждой точкой x\in X своё пространство E_x.

Одного набора \{E_x\}_{x\in X} недостаточно: он не говорит, как соседние слои связаны друг с другом. Поэтому все слои собираются в одно топологическое пространство E, а непрерывная проекция запоминает, над какой точкой находится каждый вектор.

Пространство E называется тотальным пространством, X — базой, E_x — слоем над x, а \pi — проекцией. Пока это лишь семейство: локальной одинаковости соседних слоёв мы ещё не потребовали.

Как выбирать векторы и сравнивать семейства

Сечение выбирает по одному вектору в каждом слое. Выбор должен быть непрерывным и действительно лежать над исходной точкой:

Два требования независимы. Можно непрерывно двигаться по тотальному пространству, но попадать не в тот слой; можно выбирать точку в каждом правильном слое, но делать это со скачком. Виджет показывает оба сбоя отдельно.

Более общий морфизм семейств связывает \pi_E\colon E\to X и \pi_F\colon F\to Y над отображением базы f\colon X\to Y. Она переводит слой над x в слой над y=f(x) и действует там линейно.

Условие \pi_F\circ\varphi=f\circ\pi_E — аналог условия для сечения: оба пути из E в Y должны дать одну точку. Отличие в том, что сечение идёт из базы в тотальное пространство, а морфизм связывает два тотальных пространства и одновременно покрывает отображение f.

Один и тот же слой над каждой точкой

Самое простое семейство получается прямым произведением. Для фиксированного пространства V рассмотрим проекцию на первый сомножитель:

В выбранной тривиализации сечение становится обычной непрерывной векторнозначной функцией v\colon X\to V: s(x)=(x,v(x)). Но у общего семейства такой глобальной системы координат может не быть.

Когда семейство становится расслоением

Глобально семейство может не быть произведением. Но для геометрии достаточно, чтобы оно выглядело как произведение в достаточно малой окрестности каждой точки.

Склейка тождественна по базе и меняет координаты в слое

Возьмём два локальных куска U_1\times V и U_2\times V. Над пересечением U_1\cap U_2 они описывают одни и те же слои. По базе склейка ничего не меняет: точка x в первом куске отождествляется с той же точкой x во втором. Поэтому свобода остаётся только в координатах вектора внутри слоя.

Если в первом куске вектор имеет координаты v\in V, то во втором его координаты имеют вид g_{12}(x)v. Вся склейка записывается одной формулой:

Для каждого x отображение g_{12}(x) должно быть обратимым, потому что обе системы координат описывают один и тот же слой. Функция x\mapsto g_{12}(x) должна быть непрерывной; после выбора базиса это означает непрерывность каждого коэффициента матрицы перехода. Таким образом, когда куски и тождественная склейка базы уже заданы, вся оставшаяся информация о склейке содержится в непрерывном семействе линейных изоморфизмов слоёв.

Если кусков больше двух, на каждом тройном пересечении способы перехода должны быть согласованы: g_{13}(x)=g_{23}(x)g_{12}(x). Это условие гарантирует, что результат перехода из первого куска в третий не зависит от выбранного промежуточного куска.

Ограничение и pullback

Если интересует только подпространство Y\subseteq X, семейство можно ограничить:

Общая смена базы задаётся непрерывным отображением f\colon Y\to X. Индуцированное семейство, или pullback, состоит из согласованных пар:

Pullback не создаёт новые типы слоёв — он переиндексирует уже имеющиеся вдоль f. Эта операция согласована с композицией отображений:

Pullback сохраняет локальную тривиальность: если E|_U\cong U\times V, то над f^{-1}(U) индуцированное расслоение тривиализуется тем же пространством V. Поэтому pullback векторного расслоения снова является векторным расслоением.

Слой, который уже содержится в точке базы

Точка комплексного проективного пространства \mathbb P(V) — это одномерное подпространство \ell\subseteq V. Поэтому над \ell естественно поместить саму прямую \ell:

Это тавтологическое линейное расслоение. Слово «тавтологическое» здесь буквально описывает конструкцию: точка базы уже является прямой, и эта же прямая становится слоем над собой.

Что локальная модель фиксирует

Если E|_U\cong U\times V, то все слои над U имеют размерность \dim V. Значит, функция

локально постоянна. Она постоянна на каждой связной компоненте базы, но на разных компонентах может принимать разные значения. Когда размерность тождественно равна n на всём X, говорят, что расслоение имеет ранг n.

Все непрерывные сечения E обозначаются \Gamma(E). Поточечные сложение и умножение на комплексное число снова дают сечения, поэтому \Gamma(E) является векторным пространством:

Морфизм как непрерывное семейство матриц

В тривиальных координатах E=X\times V и F=X\times W любой гомоморфизм над X имеет вид

После выбора базисов \Phi(x) — матрица, коэффициенты которой непрерывно зависят от x. Глобальной матрицы без выбранных тривиализаций нет, но локально каждый морфизм имеет именно такую форму.

Для конечномерных пространств множество обратимых операторов \operatorname{Iso}(V,W) открыто в \operatorname{Hom}(V,W), а обращение T\mapsto T^{-1} непрерывно. Отсюда локальные обратные матрицы автоматически склеиваются в непрерывный обратный морфизм.

Язык, на котором начинается K-теория

1. топология тотального пространства связывает векторные слои над соседними точками базы
2. сечение — непрерывный выбор s(x)\in E_x, а морфизм линейно действует внутри каждого слоя
3. тривиальное семейство глобально изоморфно произведению X\times V
4. pullback переиндексирует слои вдоль отображения f\colon Y\to X и согласован с композицией
5. локальные произведения склеиваются тождественно по базе и непрерывными линейными изоморфизмами по слоям
6. тавтологическое расслоение над \mathbb P(V) имеет слой E_\ell=\ell
7. функция x\mapsto\dim E_x локально постоянна, а все сечения образуют пространство \Gamma(E)
8. конечномерный морфизм расслоений обратим тогда и только тогда, когда обратим в каждом слое